:p reçoit l’indice renvoyé par partition(g, d), dont l’exécution réorganise les valeurs de la tranche t[g : d]si p = k, renvoyer t [p] ; si p > k, renvoyer k_ieme (g, p) et si p < k, renvoyer k_ieme (p + 1, d) (appels récursifs)Suivant ce principe, on ne réorganise que certaines tranches de t, sans les trier complètement, mais en préservant le fait que la valeur cherchée se trouve dans la tranche t [g : d] (d’où la justification par récurrence forte sur la valeur de d − g... ).Comme pour le tri rapide, la complexité au pire est quadratique (par exemple si l’on cherche la plus grande valeur d’un tableau initialement trié ! La fonction de tri peut ainsi s’écrire en Python :Noter que cette fonction modifie le tableau t. Il faut penser si besoin à en effectuer une copie...Le return t est facultatif, si l’on considère ce programme comme une procédure modifiant t et non comme une fonction renvoyant un tableau.Le test de la boucle while n’est correct que grâce à l’évaluation paresseuse des expressions booléennes, sans laquelle on risquerait d’accéder à t[−1] (ce qui existe en Python, mais pourrait poser problème dans d’autres contextes).pour la boucle while, la valeur de j diminue strictement à chaque passage, il y aura donc au maximum k itérations ; terminaison naturelle pour la boucle for ;preuve par récurrence de l’invariant de boucle Pk : “après l’exécution de la boucle for pour la valeur k les valeurs t[0], ..., t[k] sont les valeurs initiales rangées par ordre croissant”.Complexité au pire : n−1E k=1 k = n(− 1) n 2 (obtenue lorsque le tableau est initialement rangé en ordre décroissant ! void bubsort(Elem* array, int n) { // Bubble Sort for (int i=0; ii; j--)          if (key(array[j]) < key(array[j-1]))              swap(array, j, j-1);     int i, j, k, mid = (left+right)/2;     if (left == right) return;     mergesort(array, temp, left, mid); // la première moitié      mergesort(array, temp, mid+1, right);// Sort 2nd half // l’opération de fusion. Premièrement,  copier les deux moitiés dans temp. Notons toutefois que – contrairement à la situation du tri par fusion – t1 et t2 peuvent être de tailles déséquilibrées, ce qui fait que la complexité de ce tri peut-être quadratique dans le pire des cas (voir ci-dessous).Mais sa complexité en moyenne est en n lnn et sa mise en œuvre s’avère très rapide, d’où son nom !Où l’on voit que la partition est facile à faire avec les “tableaux-listes” de Python.La programmation dans des langages moins sophistiqués (et parfois plus efficaces) se fait classiquement “en place”, c’est-à-dire en permutant les éléments du tableau t tout en déterminant la place définitive du pivot. Il est par exemple fréquent de trier des entiers selon la relation d'ordre usuelle « est inférieur ou égal à ». Le Tri à bulles; Le Tri par sélection; Le ri par insertion ).Tant qu’à faire, donnons un algorithme recevant un tableau t et un entier k (avec la pré-condition 0 < k < len (t)) et renvoyant la valeur d’indice k dans la liste triée des valeurs initialement stockées dans t.Cet algorithme récursif utilise la fonction partition du § 1) ; pour déterminer k_ieme(g, d), valeur d’indice k dans la liste triée des valeurs initialement stockées dans t [g : d] (pré-condition g < k < d !) Par exemple :   for (int i=n/2; i>2; i/=2) // pour chaque incrément   for (int j=0; j=incr) &&    (key(A[j])

En insérant un élément dans la partie triée, il se pourrait qu’on ait à déplacer plusieurs autres.

Les algorithmes de tri sont utilisés dans de très nombreuses situations. Unicité d’éléments: après le tri tester les éléments adjacents      Les problème de tri discutés dans ce chapitre sont ceux où l’ensemble des données à trier se trouvent en mémoire centrale. Trier des tableaux en mémoire centrale 2.1 Tri interne, tri externe 2.2 Des algorithmes classiques de tri interne. Lors du chapitre sur les tableaux (partie III), nous avions abordé l'algorithme de tri par sélection (Exercice 3).Cet algorithme consistait à trier un tableau d'entiers du plus petit au plus grand en comparant progressivement les éléments d'un tableau avec leurs successeurs, quitte à effectuer un échange (n'hésitez pas à relire cet exercice si besoin). 1.   chercher le plus grand (le plus petit) élément     for (int i=0; ii; j--) // trouver la plus petite valeur            if (key(array[j]) < key(array[lowindex]))                lowindex = j; // mettre à jour l’index         swap(array, i, lowindex); échanger Si par contre, nous prenons comme mesure d’évaluations le nombre de mouvement de données, alors l,algorithme en effectue Dans ce cas, itérativement, nous insérons le prochain élément dans la partie qui est déjà triée précédemment. Alors t1 est toujours vide et t2 de taille n − 1), le coût C (n) vérifiePour ce qui est de la complexité en moyenne, encore notée C (n), en supposant – à chaque étape – les différentes tailles de t1 et t2 comme équiprobables, outre C (0) = C (1) = 0, j’obtiens successivement pour n > 2 :On peut en déduire que C (n) — 2n ln n = (2ln 2) n log2 n.Remarque : le lecteur avisé aura compris que le choix du pivot est déterminant ; le choix de la première valeur (utilisé ci-dessus) s’avérant catastrophique pour un tableau initialement (presque) trié. Cf. On obtient un code plus compact en décalant les valeurs au fur et à mesure de la recherche de la place de t [k] (sans oublier de mémoriser la valeur de t [k], qui risque d’être écrasée très vite ! 1. Nous cherchons un indice i tel que :au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à t [i]au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à t [i]On dit dans ce cas que m = t [i] est une médiane de la série statistique (il existe d’autres définitions de la médiane permettant d’assurer son unicité dans le cas d’un nombre pair de valeurs... ).Un algorithme évident pour déterminer une telle médiane est de trier le tableau t et de renvoyer t [n//2] !

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